Matriz cambio de base: ejercicios resueltos

En álgebra lineal, el cambio de base es una técnica que se utiliza para transformar un vector de un espacio vectorial a otro espacio vectorial. La matriz del cambio de base es una herramienta matemática que se utiliza para realizar esta transformación. Vamos a explorar cómo se determina la matriz de cambio de base y cómo se resuelven algunos ejercicios prácticos.

¿Qué es un cambio de base de un espacio vectorial?

Un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumplen ciertas propiedades matemáticas. Un cambio de base de un espacio vectorial es una transformación que se realiza para cambiar la forma en que se representan los vectores en ese espacio. Esto se hace mediante la creación de una nueva base para el espacio vectorial.

Una base es un conjunto de vectores que pueden utilizarse para representar cualquier vector en el espacio. Por ejemplo, en un espacio vectorial bidimensional, una base podría estar formada por dos vectores linealmente independientes. Cualquier vector en ese espacio podría representarse como una combinación lineal de esos dos vectores.

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Un cambio de base implica la creación de una nueva base para el espacio vectorial. Esto se hace mediante la selección de un conjunto de vectores linealmente independientes que puedan utilizarse para representar cualquier vector en el espacio. Los vectores de la nueva base se denominan vectores de cambio de base.

¿Qué es una matriz de transición?

Una matriz de transición es una matriz que se utiliza para transformar un vector de una base a otra. Esta matriz se construye utilizando los vectores de cambio de base. La matriz de transición se utiliza para realizar la transformación de un vector de una base a otra.

¿Qué es la matriz del cambio?

La matriz del cambio es una matriz que se utiliza para transformar un vector de un espacio vectorial a otro espacio vectorial. Esta matriz se construye utilizando la matriz de transición y la matriz original del vector. La matriz del cambio se utiliza para realizar la transformación de un vector de un espacio vectorial a otro.

¿Cómo se determina la matriz de cambio de base?

Para determinar la matriz de cambio de base, se deben seguir los siguientes pasos:

  1. Seleccionar los vectores de cambio de base.
  2. Construir la matriz de transición utilizando los vectores de cambio de base.
  3. Construir la matriz del cambio utilizando la matriz de transición y la matriz original del vector.
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Ejercicios resueltos

A continuación, se presentan algunos ejercicios resueltos que ilustran cómo se utiliza la matriz de cambio de base:

Ejercicio 1

Sea el espacio vectorial V = {(x, y) / x, y ∈ R}. La base B1 de V está formada por los vectores {(1, 0), (0, 1)}. La base B2 de V está formada por los vectores {(1, 1), (1, -1)}. Se pide encontrar la matriz de cambio de base de B1 a B2.

Para encontrar la matriz de cambio de base, se deben seguir los siguientes pasos:

  1. Seleccionar los vectores de cambio de base. En este caso, los vectores de cambio de base son los vectores de la base B2.
  2. Construir la matriz de transición utilizando los vectores de cambio de base. La matriz de transición se construye colocando los vectores de cambio de base como columnas de la matriz. En este caso, la matriz de transición es:

$$begin{pmatrix}1 & 1\1 & -1end{pmatrix}$$

  1. Construir la matriz del cambio utilizando la matriz de transición y la matriz original del vector. La matriz del cambio se construye multiplicando la matriz de transición por la matriz original del vector. En este caso, si queremos cambiar la base de (2, 3) de B1 a B2, la matriz del cambio es:

$$begin{pmatrix}1 & 1\1 & -1end{pmatrix} begin{pmatrix}2\3end{pmatrix} = begin{pmatrix}5\-1end{pmatrix}$$

Por lo tanto, (2, 3) en la base B1 es equivalente a (5, -1) en la base B2.

Ejercicio 2

Sea el espacio vectorial V = {(x, y, z) / x, y, z ∈ R}. La base B1 de V está formada por los vectores {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. La base B2 de V está formada por los vectores {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Se pide encontrar la matriz de cambio de base de B1 a B2.

Para encontrar la matriz de cambio de base, se deben seguir los siguientes pasos:

  1. Seleccionar los vectores de cambio de base. En este caso, los vectores de cambio de base son los vectores de la base B2.
  2. Construir la matriz de transición utilizando los vectores de cambio de base. La matriz de transición se construye colocando los vectores de cambio de base como columnas de la matriz. En este caso, la matriz de transición es:

$$begin{pmatrix}1 & 0 & 1\1 & 1 & 0\0 & 1 & 1end{pmatrix}$$

  1. Construir la matriz del cambio utilizando la matriz de transición y la matriz original del vector. La matriz del cambio se construye multiplicando la matriz de transición por la matriz original del vector. En este caso, si queremos cambiar la base de (2, 3, 4) de B1 a B2, la matriz del cambio es:
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$$begin{pmatrix}1 & 0 & 1\1 & 1 & 0\0 & 1 & 1end{pmatrix} begin{pmatrix}2\3\4end{pmatrix} = begin{pmatrix}6\5\7end{pmatrix}$$

Por lo tanto, (2, 3, 4) en la base B1 es equivalente a (6, 5, 7) en la base B2.

Conclusión

La matriz del cambio de base es una herramienta matemática que se utiliza para transformar un vector de un espacio vectorial a otro espacio vectorial. La matriz de transición es una matriz que se utiliza para transformar un vector de una base a otra. Para determinar la matriz de cambio de base, se deben seguir los pasos de seleccionar los vectores de cambio de base, construir la matriz de transición y construir la matriz del cambio. Los ejercicios resueltos presentados en este artículo ilustran cómo se utiliza la matriz de cambio de base en la práctica.

FAQs

1. ¿Qué es un espacio vectorial?

Un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumplen ciertas propiedades matemáticas. Estos vectores pueden ser representados como combinaciones lineales de una base de vectores.

2. ¿Qué es una base de un espacio vectorial?

Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que pueden utilizarse para representar cualquier vector en ese espacio. Cualquier vector en el espacio puede representarse como una combinación lineal de los vectores de la base.

3. ¿Qué es un vector linealmente independiente?

Un vector es linealmente independiente si no puede ser representado como una combinación lineal de otros vectores en el espacio vectorial.

4. ¿Qué es una matriz de transición?

Una matriz de transición es una matriz que se utiliza para transformar un vector de una base a otra. Esta matriz se construye utilizando los vectores de cambio de base.

5. ¿Cómo se utiliza la matriz de cambio de base en la práctica?

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar un vector de un espacio vectorial a otro espacio vectorial. Esto puede ser útil en la resolución de problemas matemáticos y en la representación de datos en diferentes sistemas de coordenadas.

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